Meccanica della frattura.html

La meccanica della frattura è quel ramo della meccanica che si occupa di studiare l'effetto modificante di cricche e difetti sullo stato di sforzo applicato ad un corpo. Applicando la fisica e la matematica degli sforzi e delle deformazioni al livello microscopico dei difetti presenti dei materiali, essa permette di predire il comportamento macroscopico a frattura dei corpi. L'aspetto particolarmente innovativo della meccanica della frattura è quindi una nuova filosofia di progettazione secondo un approccio damage tolerant, per il quale i difetti o le cricche non sono visti punti di intrinseca debolezza del materiale ma come concentratori e modificatori dello stato di sforzo.

Nella società attuale la meccanica della frattura si configura come un'importante strumento per migliorare il comportamento meccanico dei materiali e dei componenti. Essa inoltre è di indiscutibile valore in quei campi come quello aeronautico o nucleare dove la precisione nella progettazione e nella verifica dei componenti sollecitati deve essere massima.

Lo stato di sforzo a cui è sottoposto un corpo in un suo punto generico è in generale funzione delle condizioni al contorno (geometria del corpo, geometria del difetto e sollecitazioni applicate) e della legge costitutiva del materiale. In funzione della legge costitutiva del materiale la meccanica della frattura viene divisa in tre sottogruppi:

meccanica della frattura lineare elastica (LEFM) studia i materiali con comportamento elastico lineare;
meccanica della frattura elasto-plastica (EPFM) studia i materiali con comportamento elasto-plastico;
meccanica della frattura viscoelastica studia i materiali con comportamento viscoelastico.

Indice

1 Meccanica della frattura lineare elastica
2 Meccanica della frattura elasto-plastica
3 Meccanica della frattura viscoelastica
4 Bibliografia

modifica Meccanica della frattura lineare elastica

modifica La concentrazione degli sforzi causata dai difetti

Per approfondire, vedi la voce Frattura_(metallurgia).

Se si analizza la frattura a livello atomico, si può dimostrare che la sforzo di coesione interatomico per un generico materiale è approssimativamente uguale a $E / π$ (dove $E$ è il modulo elastico). Ciò non concorda con l'evidenza sperimentale, in quanto lo sforzo di frattura rilevato sperimentalmente è da 2 a 3 ordini di grandezza minore del modulo elastico.

Schematizzazione della lastra con cricca ellittica

Nel 1913 Inglis, per primo propose una correlazione quantitativa tra la geometria di un difetto e lo stato di sforzo presente. Egli analizzò una lastra piana, sottile, infinita nel piano $x \times y$ , sottoposta a pura trazione in direzione $y$ , con cricca ellittica passante, con diametro in direzione $y$ di dimensione $2 a$ e quello in direzione $x$ di dimensione $2 b$ .

Definito $ρ = b 2 / a$ , il raggio di curvatura della cricca nell'apice, lo sforzo di trazione, $σ y$ all'apice della cricca (diametro $2 a$ ) risulta

$\sigma_y=\sigma (1+2\sqrt{\frac{a}{\rho}})$

, dove $σ$ è lo sforzo di trazione in assenza della cricca. ^[1]

Se consideriamo una cricca infinitamente acuta ( $ρ = 0$ ) lo sforzo all'apice della cricca diventa

$\sigma_y= 2\sigma \sqrt{\frac{a}{\rho}}$

La precedente equazione predice uno sforzo infinito all'apice di una cricca infinitamente acuta, indipendentemente dal valore dello sforzo applicato. Il risultato ottenuto, seppur si basi sull'ipotesi di continuo spaziale e quindi non valido per i materiali reali a livello atomico, fornisce un chiaro esempio di come gli sforzi si possano concentrate all'apice dei difetti.

modifica Approccio energetico secondo Griffith

modifica Tasso di rilascio dell'energia, $G$

Nel 1920 Griffith propose un approccio energetico allo studio del problema della frattura. ^[2] Si consideri un corpo contenente un difetto soggetto ad un carico di trazione $P$ . In condizioni di equilibrio il lavoro svolto dalla forza esterna $P$ è uguale all'energia di deformazione elastica, $U e x t = U e l$ .

Se la forza esterna $P$ aumenta tanto da raggiungerà la condizione di propagazione della cricca il bilancio energetico per incremento di area della cricca ( $d A$ ) può essere riscritto

$\frac{dU_{ext}}{dA}=\frac{dU_{el}}{dA}+\frac{dU_{sup}}{dA}+\frac{dU_{cin}}{dA}$

, dove

U s u p

è l'energia di di formazione delle nuove superfici e

U c i n

è l'energia cinetica della cricca.

Se si definisce, quindi il tasso di rilascio dell'energia

$G=\frac{dU_{ext}}{dA}-\frac{dU_{el}}{dA}$

e la resistenza a frattura, chiamata anche $G C$ ,

$R=\frac{dU_{sup}}{dA}$

, il precedente bilancio può essere riscritto.

$G=R+\frac{dU_{cin}}{dA}$

, ovvero una cricca presente in un corpo propaga quando la variazione di energia potenziale disponibile $G$ uguaglia (o supera) la variazione di energia per creare nuove superfici ( $R$ ). L'eventuale energia in eccesso verrà trasformata in variazione di energia cinetica della cricca stessa.

modifica Determinazione di $G$ con il metodo della cedevolezza

Si consideri una piastra di spessore $B$ in cui è presente una cricca di lunghezza $a$ sottoposta a un carico costante $P$ (controllo di carico).

Se si verifica un avanzamento della cricca infinitesimo $d a$ il corpo subirà uno spostamento infinitesimo $d δ$ .

La variazione del lavoro delle forze esterne sarà

d U e x t = P d δ

La variazione dell'energia interna delle forze elastiche sarà

$dU_{el}= \frac{P \delta}{2}(\delta+d\delta) - \frac{P \delta}{2} d\delta= \frac{P d\delta}{2}$ .

Quindi

$G= \frac{dU_{ext}}{dA}-\frac{dU_{el}}{dA}= \frac{P}{2B}\left(\frac{d\delta}{da}\right)_P$

Se si considera la stessa piastra ma questa volta in controllo di spostamento, un avanzamento della cricca infinitesimo $d a$ creerà una variazione della forza $d P$ .

La variazione del lavoro delle forze esterne, essendo la variazione dello spostamento nulla,

d U e x t = 0

La variazione dell'energia interna delle forze elastiche sarà

$dU_{el}=\frac{\delta}{2}(P+dP) - \frac{\delta}{2} P= \frac{dP \delta}{2}$ .

Quindi

$G= -\frac{dU_{el}}{dA}= -\frac{\delta}{2B}\left(\frac{dP}{da}\right)_\delta$ .

Entrambe le espressioni di G possono essere ricondotte ad una singola se si introduce la cedevolezza $C = δ / P$

$G=\frac{P^2}{2B}\frac{dC}{da}$

modifica Il criterio di frattura energetico

Precedentemente si è dimostrato che un difetto presente in un materiale propaga quando il valore di $G$ uguaglia od è maggiore del valore di $R$ .

Il criterio di frattura energetico è quindi il seguente

$G \geq R$

$G$ , il tasso di rilascio dell'energia, è funzione dalla geometria del corpo e del difetto e dalle sollecitazioni applicate. Esso può essere ricavato sia sperimentalmente che analiticamente per una determinata configurazione di geometrie e sforzi.

$R$ , la resistenza a frattura del materiale, viene misurata sperimentalmente con prove appositamente concepite. Per i materiali perfettamente fragili $R$ è costante rispetto alla lunghezza della cricca $a$ , mentre per i materiali che presentano deformazioni plastiche $R$ è funzione di $a$ . Per esempio, molti metalli presentano il fenomeno dell'incrudimento; $R$ , per questi materiali, aumenterà con l'allungamento della cricca.

modifica Instabilità

Si consideri la precedente lastra piana sottile con cricca acuta passante di lunghezza $2 a 0$ ed il materiale della lastra perfettamente fragile, quindi con $R$ costante. Se $G (a 0)$ uguaglia $R$ avverrà la frattura e l'istante successivo la cricca avanzerà infinitesimamente di $d a$ .

Per questa configurazione, Griffith, utilizzando l'analisi di Inglis, calcolò $G$ :

$G=\frac{\pi \sigma^2 a}{E} .$ ^[1]

Quindi, all'istante successivo $G(a_0+da)>G(a_0) \geq R$ . La propagazione della cricca sarà quindi instabile.

Si consideri la stessa lastra questa volta in un materiale che presenta incrudimento, con $R (a)$ crescente. Se $G (a 0)$ uguaglia $R (a 0)$ avverrà la frattura e l'istante successivo la cricca avanzerà infinitesimamente di $d a$ . Per la nuova configurazione avremo,

$G(a_0+da)=G(a_0)+\frac{d G}{d a}(a_0) da$

$R(a_0+da)=R(a_0)+\frac{d R}{d a}(a_0) da$ .

Perché avvenga la frattura all'istante successivo, e quindi la frattura sia instabile, la seguente relazione deve valere:

$G(a_0+da) \geq R(a_0+da)$

$G(a_0)+\frac{d G}{d a}(a_0) da \geq R(a_0)+\frac{d R}{d a}(a_0) da$

$\frac{d G}{d a}(a_0) \geq \frac{d R}{d a}(a_0)$

Il criterio di instabilità, cioè le condizioni per cui la frattura avvenga in modo instabile, è quindi

$\left\{ \begin{array}{ccc} G & \geq & R \\ \frac{d G}{d a} & \geq & \frac{d R}{d a} \end{array} \right .$

modifica Calcolo della energia cinetica della cricca

Dalle definizioni di $G$ e di $R$ e dal bilancio energetico proposto precedentemente sappiamo che

$G=R+\frac{dU_{cin}}{dA}$

L'energia cinetica della cricca può essere quindi calcolarla come

$U_{cin}=\int_A (G-R)dA = \int_{a_0}^a (G-R) B da$

modifica Analisi degli sforzi nell'intorno di una cricca

modifica Fattore di intensificazione degli sforzi, K

Westergaard, Irwin, Sneddon e Williams, a differenza di Griffith cercarono di risolvere matematicamente il campo degli sforzi nell'intorno di un difetto.^[1] Essi dimostrarono che, definito un sistema di riferimento polare ( $r \times \theta$ ) con origine nell'apice della cricca, il campo degli sforzi in qualsiasi corpo criccato nell'ipotesi di materiale continuo, isotropo e lineare elastico è dato da

$\sigma_{ij}= \left ( \frac{K}{\sqrt{2 \pi r}} \right ) f_{ij}(\theta) + altri\ termini$

, dove

σ i j

sono le componenti del tensore degli sforzi,

K

è una costante che dipende dalla sollecitazione applicata e dalla geometria del sistema e

f i j

è una funzione adimensionale.

Per $r \to 0$ il primo termine tende a infinito mentre gli altri o sono costanti o tendono a zero. Si può definire quindi una zona di singolarità dominante nella quale lo sforzo varia come $1 / \sqrt{r}$ per la quale vale la seguente relazione:

$\lim_{r \to 0} \sigma_{ij}= \left ( \frac{K}{\sqrt{2 \pi r}} \right ) f_{ij}(\theta)$ .

La costante K chiamata fattore di intensificazione degli sforzi, dipende dalle sollecitazione applicata al corpo e quindi dal modo di carico al quale la cricca è soggetta.

Modi di carico.

A questo proposito vengono definiti tre modi di carico:

Modo I: chiamato modo di apertura, nel quale il carico è applicato ortogonalmente alla cricca;
Modo II: chiamato di scorrimento o di taglio, nel quale lo sforzo è di taglio nel piano e nella direzione della cricca;
Modo III: chiamato di lacerazione o strappo, nel quale lo sforzo è di taglio nel piano della cricca in direzione ortogonale ad essa.

La precedente espressione del tensore degli sforzi è riscritta per ogni modo di carico:

$\lim_{r \to 0} \sigma_{ij}^{(I)}= \left ( \frac{K_{I}}{\sqrt{2 \pi r}} \right ) f_{ij}^{(I)}(\theta)$

$\lim_{r \to 0} \sigma_{ij}^{(II)}= \left ( \frac{K_{II}}{\sqrt{2 \pi r}} \right ) f_{ij}^{(II)}(\theta)$

$\lim_{r \to 0} \sigma_{ij}^{(III)}= \left ( \frac{K_{III}}{\sqrt{2 \pi r}} \right ) f_{ij}^{(III)}(\theta)$

modifica Determinazione di K

Lo stato di sforzo all'apice di una cricca nella zona di singolarità dominante è univocamente definito dalle precedenti relazioni. Il fattore di intensificazione degli sforzi K, definito il modo di carico, racchiude l'effetto della geometria del corpo e del difetto e l'effetto delle sollecitazioni applicate ed è quindi l'unico parametro significativo per la determinazione degli sforzi all'apice della cricca.

Se si considera una lastra sottile, soggetta a modo di carico I, con una cricca passante di dimensione $2 a$ , gli sforzi perpendicolare e parallelo alla cricca in funzione della coordinata $r$ con $θ = 0$ sono rispettivamente:

$\sigma_{yy}= \frac{K_{I}}{\sqrt{2 \pi r}}$

$\sigma_{xx}= \frac{K_{I}}{\sqrt{2 \pi r}}$ . ^[1]

Williams e Westergaard determinarono analiticamente, per la stessa configurazione di carico e di geometrie, il campo di sforzi all'apice della cricca in funzione dello sforzo applicato $σ$ e della lunghezza della cricca $a$ e della coordinata $r$ :

$\sigma_{yy}=\frac{\sigma \sqrt{a}}{\sqrt{2 r}}$ . ^[1]

Quindi, per questa configurazione, il fattore di intensificazione degli sforzi $K I$ risulta:

$K_I=\sigma \sqrt{\pi a}$ .

L'espressione generale del fattore di intensificazione degli sforzi $K$ è

$K_{(I,\ II\ o\ III)}= Y \sigma \sqrt{\pi a}$

, dove $Y$ è una costante adimensionale dipendente dalla geometria del corpo e del difetto, e dal modo di carico.

$Y$ viene determinata sia analiticamente, sia numericamente (es. analisi agli elementi finiti) sia sperimentalmente.

modifica $K$ , criterio di frattura

La propagazione di una cricca avviene quando gli sforzi all'apice di essa raggiungono un valore critico. Essendo questi univocamente definiti dal fattore di intensificazione degli sforzi, si può identificare un valore di $K$ critico chiamati $K c$ . Questo valore è una misura della tenacità a frattura del materiale ed è una proprietà intrinseca di quest'ultimo.

Perchè si abbia frattura una sola di queste relazione deve essere vera:

$\begin{array}{ccc} K_{I} & \geq & K_{IC} \\ K_{II} & \geq & K_{IIC} \\ K_{III} & \geq & K_{IIIC} \end{array}$

modifica Relazione tra $G$ e $K$

Precedentemente sono strati introdotti due parametri, $G$ e $K$ , entrambi indici dell'effetto di modificazione dei difetti sullo stato di sforzo. Per il caso di lastra infinita e sottile (sforzo piano) con cricca centrale passante di dimensione $2 a$ , soggetta a modo di carico I, conosciamo di entrambi l'espressione in funzione degli sforzi e della lunghezza della cricca,

$G=\frac{\pi \sigma^2 a}{E}$

$K_I=\sigma \sqrt{\pi a}$ .

Quindi,

$G=\frac{K_I^2}{E}$ .

La relazione, verificata per una cricca passante in una lastra infinita sottile, è stata dimostrata di valenza generale da Irwin.

La relazione generale è la seguente:

$G=\frac{K_I^2}{E'}$

, dove

E' = E

nel caso di sforzo piano e

$E'=\frac{E}{(1-\nu^2)}$ nel caso di deformazione piana.

La relazione può essere estesa ai tre modi di carico:

$G=\frac{K_I^2}{E'}+\frac{K_{II}^2}{E'}+\frac{K_{III}^2}{2 \mu}$

, dove $μ$ è il modulo di elasticità tangenziale. ^[2]

modifica Estensione della meccanica della frattura lineare elastica ai materiali elasto-plastici

La meccanica della frattura lineare elastica, come già detto, parte dall'ipotesi di materiali elastici lineari. Nella realtà però ben pochi materiali, per di più di scarso interesse ingegneristico, sottostanno alla precedente ipotesi.

Le precedenti espressioni dello stato di sforzo all'apice di una cricca non tengono conto degli eventuali effetti locali di plasticizzazione a cui i materiali reali possono andare in contro.

Perché il parametro K sia effettivamente rappresentativo dello stato di sforzo all'apice della cricca, l'estensione della zona plasticizzata deve essere minore della zona di singolarità dominante del campo di sforzi.

modifica Raggio della zona plastica

In prima approssimazione consideriamo che il materiale, nel caso di sforzo piano, all'apice della cricca plasticizzi quando lo sforzo $σ y y = σ s n$ .

Possiamo quindi sostituire lo sforzo di snervamento nell'espressione dello sforzo $σ y y$ ricavato precedentemente per $θ = 0$ ,

$\sigma_{sn}= \frac{K_{I}}{\sqrt{2 \pi r_p}}$

, dove $r p$ è il raggio della zona plastica. Esso risulta quindi

$r_p= \frac{1}{2 \pi} \left ( \frac{K_{I}}{\sigma_{sn}}\right )^2$

Questa relazione non è completamente corretta perché, se si considera lo sforzo massimo effettivo pari a $σ s n$ , gli sforzi all'apice della cricca verranno ridistribuiti in modo da mantenere l'equilibrio delle forze.

Per $r = r p$ , $σ y y = σ s n$ ossia $\sigma_{sn}= \frac{K_{I}}{\sqrt{2 \pi r_p}}$ che risolta per $K I$ porta alla seguente espressione:

$K_I= \sigma_{sn} \sqrt{2 \pi r_p}$

Quindi, se si calcola l'integrale dello sforzo teorico $σ y y$ da $0$ a $r p$ , sostituendo $K I$ con la precedente relazione, risulta

$\int_0^{r_p} \sigma_{yy} dr = \int_0^{r_p} \frac{K_{I}}{\sqrt{2 \pi r}} dr = \frac{2 K_I}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{r_p} = 2 \sigma_{sn} r_p$ .

Nel caso di plasticizzazione invece il valore dello stesso integrale è $σ s n r p$ .

Per tenere conto di questo effetto si è proposto il concetto di cricca elastica equivalente il cui apice è localizzato in $r p$ . La lunghezza effettiva della cricca da considerarsi è quindi $a e f f = a + r p$ che porta ad un valore di $K I$ maggiore ( $K e f f$ ).

Nel caso di deformazione piana il valore del raggio plastico è considerato pari a

$r_p= \frac{1}{6 \pi} \left ( \frac{K_{I}}{\sigma_{sn}}\right )^2$ . ^[2]

modifica Determinazione sperimentale di $K C$ e di $G C$

La maggior parte dei materiali di interesse ingegneristico, sottoposto a sforzi elevati, prima di raggiungere la frattura va in contro a fenomeni di plasticizzazione. I valori di $K C$ e di $G C$ , teoricamente validi solo per materiali elastici lineari, possono essere considerati proprietà intrinseca del materiale solamente se certe condizioni geometriche dei provini sono verificate. In particolare, la zona plastica deve essere sufficientemente piccola rispetto alle geometrie del provino in modo da minimizzare gli effetti della plasticizzazione all'apice della cricca.

Secondo la normativa ASTM, le seguenti condizioni devo essere verificate:

$a,\, B,\, W-a \geq 2.5 \left ( \frac{K_{IC}}{\sigma_{sn}} \right )^2$

, dove

B è lo spessore del provino e

W è la larghezza del provino in direzione della cricca. ^[1]

Ciò equivale circa ad ammettere un raggio plastico $r p$ massimo 50 volte più piccolo rispetto alle dimensioni del provino $a$ , $B$ , $W - a$ :

$\left\{ \begin{array}{ccl} r_p & \leq & \frac{1}{50} a \\ r_p & \leq & \frac{1}{50} B \\ r_p & \leq & \frac{1}{50} (W-a) \end{array} \right .$

La prima relazione assicura l'applicabilità dell'analisi degli sforzi all'apice della cricca di Westergaard, base della meccanica della frattura lineare elastica; la seconda assicura uno stato di deformazione piana poiché, in assenza di quest'ultimo, si verifica una rilassamento degli sforzi con conseguente variazione della tenacità a frattura; la terza assicura che gli effetti di bordo siano trascurabili.

modifica Meccanica della frattura elasto-plastica

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modifica Meccanica della frattura viscoelastica

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modifica Bibliografia

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Ted Anderson. Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications. Boston, CRC Press, 1991.
^ ^a ^b ^c Christopher Wilson. Linear Elastic Fracture Mechanics Primer . George C. Marshall Space Flight Center, NASA, 07/1992.

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modifica La concentrazione degli sforzi causata dai difetti

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modifica Calcolo della energia cinetica della cricca

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modifica Fattore di intensificazione degli sforzi, K

modifica Determinazione di K

modifica K, criterio di frattura

modifica Relazione tra G e K

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modifica Raggio della zona plastica

modifica Determinazione sperimentale di KC e di GC

modifica Meccanica della frattura elasto-plastica

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modifica Determinazione di $G$ con il metodo della cedevolezza

modifica $K$ , criterio di frattura

modifica Relazione tra $G$ e $K$

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